标题：请问公有权房产如下情况怎么处理?

律师您好:

我母亲现有一套两室公产房,想咨询您如何处理,具体情况如下:

1、我父亲已去世，母亲自己独居

2、我母亲共有四子一女

3、我母亲三子及其儿子的户口没有迁走，与母亲在一起，但他自己另有一处房产且成家独自生活

4、现在三子一家故意强行住到母亲的房子，并对老人态度极其恶劣，企图侵占房产

想咨询您现在这种情况，公产房可以继承么？如果可以是所有子女都有继承权还是只有与母亲在一户口本上的三子父子有继承权？

如果现在老人买下房子产权，可以对房子自行按照遗嘱分配么？如果可以要怎么做？